Pendel und Pendelgesetze

Ein Körper, der um eine nicht durch den Schwerpunkt gehende Achse frei hin und her schwingen kann, ist ein Pendel.
Man unterscheidet 1. einfache oder mathematische und 2. zusammengesetzte Pendel.

Erstere, die nur in der Vorstellung bestehen, sind ein schwerer Punkt an einem gewichtslos gedachten Faden aufgehängt; z.B. würde eine kleine Gold- oder Platinkugel an einem seidenen Faden diesem sehr nahe kommen. Alle anderen, also auch die Uhrpendel, sind physische oder zusammengesetzte Pendel.

Die Bewegung eines Pendels vom höchsten bis zum gegenüberliegenden höchsten Punkt nennt man eine Halbschwingung, und eine Pendelbewegung von einem höchsten Punkt zum anderen und wieder zurück zum ersten eine Schwingung. Der Punkt eines Pendels, der für sich allein genau so schnell schwingen würde wie das ganze Pendel, heisst Schwingungsmittelpunkt und dessen Entfernung vom Biegungspunkt der Pendelfeder die mathematische Pendellänge des physischen Pendels.

Da die Berechnung eines physischen Pendels nicht ohne viele und umständliche mathematische Berechnungen ausführbar ist, so soll nur eine einfache Formel für das mathematische Pendel, aus der das Erforderliche leicht abgeleitet werden kann, hier Platz finden:

T=p Ö l : g

( Im Klartext: pi mal Wurzel l über g , in HTML nicht richtig darstellbar)

Es bedeutet T die Zeitdauer einer einfachen Halbschwingung (Schlagdauer), pi den bekannten Wert 3,14159..., l die oben erklärte mathematische Pendellänge und g die Beschleunigung durch die Erdanziehung, die für mittlere Breitengrade etwa zu 9,81 m/sec² angenommen wird, und, da die Erde keine Kugelform hat, sondern an den Polen abgeflacht ist, zwischen den Werten 9,8322 m/sec² (für die Pole) und 9,7803 m/sec² (am Aequator) schwankt. Aus letzteren Werten erhält man mit obiger Formel für die mathematische Länge eines Sekundenpendels am Aequator die Zahl 991,02 mm. Für Paris ist g = 9,810 m/sec², l demnach 993,93 mm; für Berlin g 0 9,813 m/sec², l somit 994,25 mm und für den Nordpol g = 9,832 mm/sec² und l = 996,45 mm. Diese Angaben gelten für eine Höhenlage von Normal-Null.

Eine Normalsekundenpendeluhr, die auf dem 0^ten Breitengrad richtig geht, würde, nach einem Pol gebracht, dort fast 4 Minuten in einem Tag vorgehen!

Die folgenden Ausführungen und Beispiele gelten für mittlere Breitengrade, sofern nichts anderes vermerkt ist.

1. Die Schwingungsdauer ist unabhängig von der Masse und dem Stoff der schwingenden Körper (eine Holz- und eine Bleikugel an gleichlangen Fäden schwingen gleich schnell)
2. Die Zeitdauer einer Schwingung ist bei kleinem Ausschlagwinkel innerhalb gewisser Grenzen fast unabhängig von der Grösse des Winkels: Prinzip des Isochronismus - d.h. Zeitengleichheit und bedeutet, dass ein Pendel unter Umständen einen Bogen von 1,5° und einen solchen von 2,5° in genau der gleichen Zeit durchlaufen kann (Bestreben der Uhrmacherkunst)
3. Die Zeitdauer der Pendelschwingungen ist proportional der Quadratwurzel aus den Pendellängen (ein Viertelmeterpendel braucht halb so viel Zeit zu einer Schwingung wie ein Einmeterpendel

Aus der gegebenen Schwingungszahl eines Pendels in der Minute die mathematische Länge desselben zu bestimmen

Ein Sekundenpendel macht in der Minute 60 Halbschwingungen und hat eine Länge von 994 mm. Bezeichnet man die minütliche Schlagzahl eines anderen Pendels mit n_m, so hat man nach obiger Regel 4 durch Umkehrung und Quadrierung für die gesuchte mathematische Pendellänge:

Für n (Schlagzahl) = 60 und l = 994 mm rechnet sich das wie folgt:

Beispiel: Die Uhr im Dresdener Zwinger (Math. Phys. Salon) in Regulatorform braucht 5/4 sec. zu einer halben Schwingung. Wie gross ist die mathematische Pendellänge?

Berechnung des Längenunterschieds eines physischen Pendels für einen festgestellten Gangunterschied

Die Lösung dieser Aufgabe erfolgt nach der Formel

Dabei ist delta t (delta, griech. Anfangsbuchstabe von Differenz = Unterschied) der zu beseitigende Längenunterschied des Pendels, l ist die nach vorigem Abschnitt gefundene Pendellänge in mm, 2,25 ist ein in der Praxis gefundener Wert, delta t der in 24 Stunden = 1 Tag beobachtete Zeitunterschied in Minuten, und t die in Minuten angegebene Beobachtungszeit.
Setzt man den für l (in mm) nach dem vorigen Abschnitt gefundenen Wert ein, so ist

Beispiel: Eine Sekundenpendeluhr hat in einem Tag einen Gangunterschied von einer Sekunde. Um wieviel muss die Pendellänge verändert werden?

Berechnung der Umdrehung der Regulierschraubenmutter eines Pendels für einen beobachteten Gangunterschied

Die Arbeit des Regulierens einer Pendeluhr lässt sich bedeutend schneller ausführen, wenn man die Steigung des Pendelgewindes bestimmt, was dadurch erfolgt, dass man die Zahl der Gewindegänge für eine gewisse mit den Gängen zusammenpassende Zahl von Millimetern zählt, und die Millimeterzahl durch die Gängezahl teilt, daraus die Verschiebung der Pendellinse für einen Teilstrich der an der Reguliermutter angebrachten Teilung berechnet und die nach dem vorigen Abschnitt erforderliche Längenveränderung durch diesen Wert teilt. Dreht man die Regulierschraubenmutter nach der richtigen Seite, so ist der Gangunterschied bis auf einen kleinen Rest beseitigt.

Aufgabe: Eine Uhr mit Sekundenpendel hat in 4 Tagen genau 100 Sekunden Gangunterschied. 30 Gänge des Pendelgewindes sind 24 mm lang, und die Regulierschraubenmutter ist in 8 Teile geteilt. Um wie viele Teilstriche muss diese gedreht werden?

Berechnung der Zulagegewichte eines Pendels

Das Pendel von Beobachtungsuhren, Normaluhren und ähnlichen, von denen sehr genaue Gangergebnisse gefordert werden müssen, darf niemals unnötig angehalten werden, weil sonst einige Zeit, etwa 2-3 Tage, vergehen würde, bis die Uhr den früheren Gang wieder vollkommen angenommen hat. Ebenso sollen auch Uhren mit schwerem und langem Pendel vorsichtig behandelt werden, damit nicht etwa die Lamellen (das sind die oftmals sehr dünnen Federn der Pendelaufhängung) verbogen werden und beim Richten dieser eine einseitig wirkende Spannung entsteht.
Zur Vermeidung des Anhaltens der Pendel ist an der Pendelstange ein kleines Tischchen angebracht, etwa 40 mm im Quadrat oder (wenn rund) von 50 mm Durchmesser, dessen obere Fläche um die halbe mathematische Pendellänge des betreffenden Pendels vom Biegepunkt der Pendelfeder entfernt sein soll und das zur Aufnahme der sogenannten Zulagegewichte dient. Letztere bestehen aus schmalen streifen Aluminiumblech von etwa 0,3 - 0,4 mm Stärke, sind etwa 3-4 mm breit, und deren Gewicht wird nach der Formel

berechnet, in der 8 ein von der Massenverteilung des Pendels abhängiger Wert ist (Clemens Riefler gibt für sein Pendel von 7 kg Gewicht den Wert mit 7,7 an), delta t den beobachteten Zeitunterschied in Sekunden, P das gesamte Pendelgewicht in Gramm und t die Beobachtungszeit in Sekunden angibt. Die Zahlen für delta t und t sollten in Sekunden angegeben sein, weil, nachdem die Uhr vorreguliert ist, der noch vorhandene Fehler sehr gering ist. An Zulagegewichten sollten vorhanden sein:
Für einen täglichen Gangunterschied von 1 Sekunde 2 Stück
Für einen täglichen Gangunterschied von 0,5 Sekunden 2 Stück
Für einen täglichen Gangunterschied von 0,2 Sekunden 4 Stück
Für einen täglichen Gangunterschied von 0,1 Sekunden 4 Stück
Für einen täglichen Gangunterschied von 0,05 Sekunden 2 Stück

Für einen täglichen Gangunterschied von 1 Sekunde würde das Zulagegewicht 8 / 86400 = 1 / 10800 oder, nach Riefler, 7,7 / 86400 = 7 / 11220, also im Mittel 1 / 11000 des Pendelgewichts sein. Nicht vergessen darf werden, dass das Pendel beim Vorregulieren ein Zulagegewicht für eine Sekunde tragen sollte, damit unter Umständen das Zulagegewicht verkleinert werden kann, wenn die Uhr vorgeht, diese also nunmehr nachgehen soll.Legt man ein Zulagegewicht auf, so geht die Uhr dem Zulagegewicht entsprechend vor , da der Schwerpunkt des Pendels nach oben verlegt, die wirksame Pendellänge also kürzer wird. Auch bei ganz einfachen Uhren hat sich die Benutzung der Zulagegewichte durchaus bewährt und ist bequemer und für die Uhr vorteilhafter als das Herumschrauben an der Regulierschraubenmutter.

Aufgabe: Wie schwer müssen die Zulagegewichte eines Sekundenpendels von 6 kg sein? (man bestimmt das Gewicht für 1 Sekunde pro Tag und danach die anderen Gewichte)

Es sind nötig für 1 Sekunde 2 Stk. zu je 0,555 g
Es sind nötig für 0,5 sec. 2 Stk. zu je 0,277 g
Es sind nötig für 0,2 sec. 4 Stk. zu je 0,111 g
Es sind nötig für 0,1 sec. 4 Stk. zu je 0,055 g
Es sind nötig für 0,05 sec. 2 Stk. zu je 0,027 g

Berechnung der Längenveränderung der Körper bei wechselnder Temperatur

Dem Uhrmacher ist durch das Verhalten der Pendel und der Kompensationsunruhen bekannt, dass sich alle Körper, von ganz wenigen Ausnahmen abgesehen, in der Wärme ausdehnen, d.h. länger werden und in der Kälte zusammenziehen.
Man benutzt daher, um die Grösse dieser Veränderung berechnen zu können, die durch genaue Versuche gewonnenen Ausdehnungskoeffizienten (das sind Zahlen, die mit der Länge des Körpers multipliziert werden, um wieviel sich die Länge des Körpers bei Erwärmung oder Abkühlung um 1° Celsius verändert).
Bezeichnet man den Längenunterschied mit delta l , die Anzahl der Celsiusgrade, um die der Körper erwärmt wird, mit t und den Ausdehnungskoeffizienten mit alpha, so ist

Ausdehnungskoeffizienten für Längenveränderung (zwischen 0° und 100° C)

Aufgabe: Ein Zinkstab ist bei +10° C 85 cm lang. Um wieviel dehnt sich dieser bei Erwärmung auf 48° C aus?

Berechnung der Länge der Körper bei wechselnden Wärmegraden

Im letzten Abschnitt wurde gezeigt, wie die Grösse der Veränderung der Länge der Körper gefunden wird, und es soll jetzt unter gleicher Voraussetzung die Körperlänge bestimmt werden, d.h. im vorigen Abschnitt nur das Mehr oder Weniger an Länge und nunmehr die veränderte Gesamtlänge.
Diese findet man, indem man zur ursprünglichen Länge die Längenveränderung zuzählt oder bei Abkühlung von dieser abzieht. Bezeichnet man die jetzige Länge mit l₂, die frühere Länge mit l₁, die Aenderung wie bisher mit delta l, so ist delta l = l₁ * alpha * t.

Das untere Vorzeichen (-) muss bei abnehmender Temperatur genommen werden.

Damit bei Lieferung von Messwerkzeugen und Werkstücken, besonders den Grenzlehren, Lehrdornen, Ringlehren, Rachenlehren, Endmassen keine Meinungsverschiedenheiten entstehen können, ist für diese eine Bezugstemperatur von 20° C durch die DIN festgesetzt.
Auch für den Werkstoff, aus dem diese Gegenstände gefertigt werden, ist bestimmt, dass die Längenänderung bei 1 m Länge und 1° C Temperaturunterschied nur 0,0115 mm betragen darf. Die Messbehörden beglaubigen die Grössen nur für 20° C. Der Ausdehnungskoeffizient soll also für diese Werkstoffe nur max. alpha = 0,0000115 sein.

Aufgabe: Der Zinkstab eines Rostpendels ist 600 mm lang. Welche Länge hat dieser, wenn er von 12° C auf 25° C gebracht wird?

Gangunterschied bei Pendeluhren infolge wechselnder Wärmegrade

Während in Abschnitt 2 die erforderliche Längenveränderung eines Pendels zur Beseitigung eines Gangunterschiedes behandelt wird, so soll jetzt das Umgekehrte geschehen, nämlich der Zeitunterschied berechnet werden, der entsteht, wenn die Pendelstange infolge anderer Wärmegrade ihre ursprüngliche Länge ändert. In dem erwähnten Abschnitt ist die Formel

angegeben. Es ist demnach auch

woraus man erhält:

Nach Abschnitt 1 ist l = 3580000 / n²_m und nach Abschnitt 5 delta l = l * alpha * t.
Aufgabe: Eine Turmuhr hat ein 2½ Sekundenpendel, dessen Pendelstange aus Eisen ist. Die Temperatur wechselt von +25° C bis -15° C. Wie geht die Uhr im Winter, wenn sie im Sommer richtig gegangen ist?

Die Uhr geht somit im Winter in einem Tag ungefähr 18,4 Sekunden vor.

Selbsttätiger Ausgleich der Gangunterschiede der Uhren bei Temperatur- und Luftdruckschwankungen (Kompensation)

In den Abschnitten 5 bis 7 ist gezeigt worden, welchen Einfluss die Temperaturänderungen auf die Uhren haben können, und nunmehr soll angegeben werden, wie die dadurch entstehenden Fehler zu beseitigen oder wenigstens zu vermindern sind.
Dehnt sich ein Pendelstab infolge grösserer Wärme aus, so wird das Pendel länger und die Uhr geht nach. Bringt man nun am unteren Pendelende einen zweiten Stab senkrecht nach oben an, welcher, unten festgehalten, sich nach oben ausdehnen muss, und verbindet mit diesem die Pendellinse, die eine beliebige Form haben kann, so lässt sich leicht einsehen, dass die Stablängen und die Werkstoffe so gewählt werden können, dass die Pendellinse sich bei den verschiedensten Temperaturen weder hebt noch senkt, die Uhr also gleichmässig weiter, d.h. richtig geht.
Die so entstandenen Pendelformen nennt man

1. Rostpendel
2. Quecksilberpendel
3. Quarzpendel
4. Nickelstahlkompensationspendel

Die ersteren, einem Rost nachgebildet, bestehen meist aus 5 Stäben, von denen 3 aus gleichem Stoff, gewöhnlich Eisen oder Stahl sind, während der 2. und 4. aus Kupfer, Messing oder Zink dem Wärmeausgleich dient.
Die Länge der Kupfer- m Messing- oder Zinkstäbe ist so zu wählen, dass deren Längenänderung gleich der Summe der Aenderungen der drei nach unten wachsenden Eisen- oder Stahlstäbe ist. Stimmt nun der Wert für alpha nicht mit der Wirklichkeit überein, so müsste die Länge geändert werden, was einfach dadurch erfolgt, dass man mittelst einer Reihe von Löchern und eines Stiftes ein anderes Stück des Kompensationsstabes einschalten kann.
Diese früher oft und fast ausschliesslich, auch bei Präzisionsuhren, benutzte Form findet heute kaum noch Verwendung, weil die freie Ausdehnung bei gut passender Führung behindert ist und im anderen Fall das Pendel an innerer Festigkeit verliert.

Das Quecksilberpendel trägt an seinem unteren Ende ein oder zwei mit Quecksilber gefüllte Gefässe aus Glas, Eisen oder Stahl. Die grosse Menge des Quecksilbers nimmt nur langsam die Wärme an, die der dünne von der Luft umspülte Pendelstab viel früher hat, ausserdem eignet es sich nicht recht zum Versand.

An demselben Uebelstand leidet das leicht zerbrechliche Quarzpendel, dessen Stab aus geschmolzenem Quarz hergestellt ist.

Die Nickelstahlpendel bestehen aus Invarstäben, die wegen der geringen Ausdehnung nur kurze Kompensationsstücke aus Eisen, Messing Stahl oder Aluminium, meist zusammengesetzt, beanspruchen. Der Pendelkörper wird im Schwerpunkt unterstützt, kann sich also ohne Gangänderung nach allen Seiten beliebig ausdehnen.

Die warme Luft geht in jedem Raum, also auch im Uhrgehäuse, nach oben, so dass verschieden warme Luftschichten vorhanden sind, die nachteilig auf die Kompensation wirken müssen. Diesen Fehler versucht man dadurch auszugleichen, dass man die Gehäuse innen mit Kupferblech überzieht, das als sehr guter Wärmeleiter die Kälte von unten nach oben und die Wärme von oben nach unten bringt.

Einen weiteren störenden Einfluss auf den Gang der Uhren übt der veränderliche Luftdruck aus. Hierdurch werden Gangunterschiede von 0,012 - 0,018 Sekunden je nach der Form der Pendellinse in einem Tag bei 1 mm Veränderung des Barometerstandes erzeugt. Dieser Fehler kann dadurch behoben werden, dass die ganze Uhr unter eine luftdicht abgeschlossene Glasglocke kommt, die auf etwa 650 mm Barometerstand ausgepumpt wird, oder, wenn sie aus irgend welchen anderen Gründen stets zugänglich bleiben soll, eine Luftdruckkompensation erhält (das ist ein Aneroidbarometer mit aufgelegtem Gewicht, in etwa ¼ der mathematischen Pendellänge von oben am Pendelstab angebracht). Die unter Glasglocke aufgestellten Uhren werden durch Aenderung des Luftdrucks reguliert.

Aufgabe: Ein Nickelstahl- Invarpendel von 994 mm Länge soll ein Kompensationsrohr aus Messing erhalten. Wie lang muss dieses sein?

Regulieren einer Pendeluhr für einen anderen Ort

Von dem Hersteller der Präzisionsuhren wird nicht selten verlangt, dass die Uhr nicht am Ort der Herstellung, sondern am Ort des Bestellers sofort richtig gehen soll.
In Abschnitt 1 ist angegeben, dass der Wert g grossen Veränderungen unterworfen ist, die von der Gestalt der Erde abhängen, dass also auch eine Pendeluhr nicht überall richtig gehen kann, wenn man sie ohne Aenderung nach einem anderen Aufstellungsort bringt.
Der entstehende Zeitunterschied lässt sich mit ziemlicher Genauigkeit nach der einfachen Formel

bestimmen, wobei nur zu beachten ist, dass die beiden Werte für g in Zentimetern zu nehmen sind. Nachfolgende kleine Tabelle soll die Lösung solcher Aufgaben erleichtern.
Die Werte sind auf Meeresoberfläche bezogen.

Soll g für einen höher gelegenen Ort genauer bestimmt werden, so hat man von obigem Tabellenwert 0,00031 * H cm abzuziehen, wobei H die Höhenlage des Ortes über Normalnull in Metern bedeutet.
Beispiel: Die Sternwarte Altenburg liegt auf 50° 58' 20" nördlicher Breite und 208 m über Normalnull. Durch eine Zwischenrechnung kann man leicht den genauen Wert von g für Altenburg bestimmen. Nach der vorstehenden Tabelle ist g für 51° = 981,16 cm/sec² und für 50° = 981,07, also für ein Grad ein Unterschied von 0,09 cm/sec²; dieser ist auf 1° = 60' = 3600" zu verteilen. Nun ist eine Sekunde (1") der 1/3600 ste Teil von 1° oder: 0,000278° = 1" ; für 1" Unterschied in diesem Fall 0,09 / 0,000278 cm/sec² ; von 50° 58' 20" fehlen bis 51° noch 1' 40", also 60 + 40 = 100". Man erhält daher den gesuchten Wert, wenn man von 981,16 (für 51°) den Wert für 100", d.h. 0,09 * 100 / 0,000278 = 9 * 0,000278 = 0,002502 abzieht. Der Wert ist aber so klein, dass er aus nachher angegebenen Gründen nicht berücksichtigt wird.
Der zweite wegen der Höhenlage von Altenburg abzuziehende schon grössere Wert ist 0,00031 * 208 = 0,06448. Man hat daher g = 981,16 - 0,06 = 981,10 cm/sec².

Eine Anwendung der vorstehenden Rechnungsarten auf das Vorregulieren einer astronomischen Uhr für einen anderen Aufstellort zeigt das folgende Beispiel:
In Freiburg i.Br. soll eine Pendeluhr für Cartago reguliert werden. Freiburg liegt auf 48° N in 298 m.ü.M. Cartago liegt auf 10° N in einer Höhe von 1417 m.ü.M. Für welchen Zeitunterschied ist die Uhr einzustellen?

Die Uhr muss somit in Freiburg i.Br. täglich 1,31 Sekunden oder 2 Minuten 11½ Sekunden vorgehen.
Dies ist nur eine Näherungsrechnung, die aber für gewöhnlich vollkommen ausreicht, denn der genaue Wert von g muss durch Versuche festgestellt werden, da er noch von der Zusammensetzung und der Beschaffenheit der Erdrinde am Beobachtungsort abhängt - Erzlager, Höhlen etc. - ausserdem die Breitengrade keine Kreisform haben, sondern Ellipsen sind.

Einfacher wird die Rechnung, wenn es sich um Orte handelt, die beide zwischen dem 40. und 50. Breitengrad liegen, da die Aenderung von g zwischen diesen Grenzen als gleichmässig angenommen werden kann. Sie beträgt für 1° 0,086 cm/sec² ; die dementsprechende Längenänderung des Sekundenpendels 0,087 mm. Wird in dem angegebenen Bereich eine Sekundenpendeluhr näher zum Pol gebracht, so geht die Uhr an einem Tag um 3,8 sec. vor (3,8 sec/d, Sekunden pro Tag).
Würde die Uhr 1 m höher als bisher aufgestellt, so bewirkte dies ein Nachgehen von 0,011 sec/d.

Aufgabe: Eine in Glashütte gebaute Sekundenpendeluhr soll nach Berlin gebracht dort richtig gehen. Wie muss diese feingestellt werden, wenn Glashütte 50° 51' 10" N bei H = 330 m.ü.M. und Berlin 52° 30' 17" bei H = 37 m.ü.M. liegen?

Die Uhr geht also in Berlin 9,5 sec/d vor, muss demnach in Glashütte für ein tägliches Nachgehen von 9,5 sec reguliert werden.

Der Inhalt diese Abschnitts lässt sich für eine Präzisions- Sekundenpendeluhr in folgenden Sätzen kurz fassen:

1. Je grösser die geographische Breite, d.h. je näher den Polen zu, desto länger ist das Pendel. Einen Breitengrad weiter nach Norden gebracht geht dieselbe Uhr 3,8 Sekunden täglich vor.
2. Je höher über dem Meeresspiegel, also weiter vom Erdmittelpunkt, desto kürzer ist das Pendel. 1 Meter höher geht die Uhr 0,011 Sekunden täglich nach.
3. Je höher der mittlere Barometerstand, desto kürzer ist das Pendel. 1 Millimeter Quecksilbersäule mehr geht die Uhr täglich im Mittel 0,015 Sekunden nach.

Genaue Beobachtung und Versuche haben dahin geführt, dass es heute Uhren gibt, die einen täglichen Gangunterschied von einer Hundertstel Sekunde selten überschreiten.

Zum Schluss sei noch darauf hingewiesen, dass die Uhrmacherkunst in Bezug auf Messungen eine Ausnahmestellung einnimmt; denn bei Längen- , Flächen- Gewichts- und dergleichen Messungen, die beliebig oft von den verschiedensten Personen mit den mannigfaltigsten Hilfsmitteln und auch zu den verschiedensten Zeiten vorgenommen werden können, bleibt der Fehler unverändert, nimmt also nicht zu; würde aber der Pendelschlag einer Uhr nur um 1 / 10000 Sekunde falsch sein, so hätte man in einem Tag schon einen Zeitunterschied von über 8 Sekunden, also einen unerträglichen Fehler, weil er, selbst unmessbar, 86400 mal addiert wird!